April 28

3-րդ ուսումնական շրջանի ամփոփում մաթեմատիկայից

Այս ուսումնական շրջանի ընթացքում ծանոթացանք ֆունկցիաներին և կատարեցինք հետազոտական աշխատանք։Նաև ունեցանք ևս մեկ հետաքրքիր նախագիծ, որը նվիրված էր պի թվին։Այս նախագծերից բացի կաին աաջադրանքներ և ֆլեշմոբեր։Այս ուսումնական շրջանում կատարած իմ աշխատանքները կարող եք տեսնել հղումներով։

Փետրվար

Առաջադրանք

Առաջադրանք

Մարտ

Պի թվի օրը

Առաջադրանք

Առաջադրանք

Ապրիլ

ֆլեշմոբ

Սինուս և կոսինուս ֆունկցիաների հատկություններն ու գրաֆիկները

April 24

Սինուս և կոսինուս ֆունկցիաների հատկություններն ու գրաֆիկները

y=sinx ֆունկցիայի հատկությունները

Դիտարկենք y=sinx ֆունկցիան, որի արժեքը x կետում հավասար է x ռադիան անկյան սինուսին:

1. y=sinx ֆունկցիայի որոշման տիրույթն ամբողջ թվային առանցքն է՝ D(sinx)=R:


2. y=sinx ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը [−1;1] հատվածն է:


3. y=sinx ֆունկցիան պարբերական է T=2π պարբերությամբ: 


4. y=sinx ֆունկցիան կենտ է:


5. sinx=0, երբ x=πn,n∈Z: 


6. y=sinx ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը 1-ն է, որը ֆունկցիան ընդունում է x=π2+2πn,n∈Z կետերում: 


7. y=sinx ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը −1-ն է, որը ֆունկցիան ընդունում է x=−π2+2πn,n∈Z կետերում:


8. y=sinx ֆունկցիան դրական է (2πn;π+2πn) արգումենտների համար, և բացասական է

(π+2πn;2π+2πn) արգումենտների համար, որտեղ n∈Z:

9. y=sinx ֆունկցիան աճում է [−π2+2πn;π2+2πn] հատվածներում և նվազում է [π2+2πn;3π2+2πn] հատվածներում, որտեղ n∈Z:

Հաշվի առնելով թվարկված հատկությունները, կառուցում ենք y=sinx ֆունկցիայի գրաֆիկը:

y=cosx ֆունկցիայի հատկությունները

Դիտարկենք y=cosx ֆունկցիան, որի արժեքը x կետում հավասար է x ռադիան անկյան կոսինուսին:

1. y=cosx ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ամբողջ թվային առանցքն է՝ D(cosx)=R:

2. y=cosx ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը [−1;1] հատվածն է:

3. y=cosx ֆունկցիան պարբերական է T=2π պարբերությամբ: 

4. y=cosx ֆունկցիան զույգ է:

5. cosx=0, երբ x=π2+πn,n∈Z: 

6. y=cosx ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը 1-ն է, որը ֆունկցիան ընդունում է x=2πn,n∈Z կետերում:

7. y=cosx ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը −1-ն է, որը ֆունկցիան ընդունում է x=π+2πn,n∈Z կետերում:

8. y=cosx ֆունկցիան դրական է (−π2+2πn;π2+2πn) արգումենտների համար, և բացասական է (π2+2πn;3π2+2πn) արգումենտների համար, որտեղ n∈Z:

9. y=cosx ֆունկցիան աճում է [−π+2πn;2πn] հատվածներում և նվազում է [2πn;π+2πn] հատվածներում, որտեղ n∈Z:

Հաշվի առնելով թվարկված հատկությունները, կառուցում ենք y=cosx ֆունկցիայի գրաֆիկը

Համաձայն բերման բանաձևի՝ cosx=sin(π2+x): Հետևաբար, 

y=cosx ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է y=sinx ֆունկցիայի գրաֆիկը π2 միավորով դեպի ձախ տեղաշարժի միջոցով:

Նյութի աղբյուրը

April 5

Մաթեմատիկական ֆլոշմոբ

  1. Արշավականներն օրական 8 ժամ հաստատուն արագությամբ քայլելով, 15 օրում կարող են անցնել 480կմ ճանապարհ: Արշավականները օրական քանի ժամ պետք է բալեն նույն արագությամբ, որ 2 շաբաթում անցնեն 50կմ ճանապարհ:

Պատ․10ժ

  1. Քանի յոթանիշ թիվ կա, որոնց երկրորդ թվանշանը կենտ է, իսկ երրորդը

Պատ․Կա 25 ոթանիշ թիվ

  1. Ալենը, Դավիր-ը և Վահեն կանգնած են բակում Ալենն ասում է, որ Դավիթից երկու անգամ ավելի հեռու է, քան Լահեից, Դավիթն ասում է, որ Վահեից երկու անգամ ավելի հեռու է, քան Ալենից, իսկ Վարեն ասում է, որ Դավիթից էրկու անգամ ավելի հեռու է, քան Սլենից: Նրանցից առնվազն երկուսը ճիշտ են ասում։ ով է ստում

Պատ․՝Ստում է Ալենը

  1. Քնարիկն ընտրել է խորանարդաձև տուփի գագաթներից մեկը: Դուք իրավունք ունեք նրան տալու հարցեր, որոնց նա պետք է պատասխանի «այո» կամ «ոչ» : Նվազագույնը քանի հարց տալով կարող եք պարզել, թե որ գագարին է նա ընտրել:

Պատ․՝ 3

5.Երկու քառակուսաձև, ծղթեր իրար վրա դրված են այնպես, որ նրանց ընդհանուր մասի մակերեսը կազմում է մի քառակուսու մակերեսի 2/5 մասը, իսկ մյուսի՝ 518 մասը: Գտիր այդ քառակուսիների կողմերի երկարությունների հարաբերությունը:

6. Ֆուտբոլի դաշտ դուրս եկող 11 հոգանոց թիմում պեւոք է ընտրել ավագ և նրա օգնական: Քանի՞ եղանակով է հնարավոր իրականացնել ընտրությունը:

Պատ․՝100

  1. Տասանիշ թիվը գրելու համար կարող ենք օգտագործել 1, 2 և 3 թվանշանները, ընդ որում նույն թվի մեջ ցանկացած երկու հարևան թվանշանների տարբերությունը 1 է: Այս պայմաններին բավարարող քանի թիվ կա

Պատ․՝4

  1. MNk եռանկյան M գագաթից տարված ուղիղը հատում է k կողմը E կետում, այնպես որ MN-NE, ZNME–35 աստիճան, 2KME+15 աստիճան: Գտեք MNK եռանկյան անկյունները:

M-50°

N-110″

K-20″

9.2×2 չափանի քառակուսու վանդակներից ամեն մեկը ներկում են սև կամ սպիտակ։ Բառակուսին ներկելու քանի՞ fհնարավոր տարբերակ կա:

10. Յանան ունի տարբեր չափեր ունեցող 5 խորանարդ: Երբ նա դասավորում է դրանք փոքրից մեծ, երկու հարևան խորանարդների բարձրությունների տարբերությունը միշտ ստացվում 2սմ: Մեծ խորանարդի կողմը հավասար է երկու ամենափոքր խորանարդների կողմերի երկարությունների գումարին: Ինչի է հավասար բոլոր 5 խորանարդներից կառուցված աշտարակի բարձրությունը:

Պատ․՝50սմ

March 17

Պի թվի օրը

 Թվերի պատմությունն ունի ավելի քան մեկ հազարամյակ, գրեթե նույնքան, ինչ գոյություն ունի մաթեմատիկայի գիտությունը: Իհարկե, համարի ճշգրիտ արժեքը անմիջապես չի հաշվարկվել: Սկզբում շրջագծի հարաբերակցությունը տրամագծին համարվել էր հավասար: Բայց ժամանակի ընթացքում, երբ ճարտարապետությունը սկսեց զարգանալ, պահանջվում էր ավելի ճշգրիտ չափում: Ի դեպ, համարը գոյություն ուներ, բայց այն ստացավ նամակի նշանակումը միայն XVIII դարի սկզբին (1706) և գալիս է երկու հունարեն բառերի սկզբնական տառերից, որոնք նշանակում են «շրջագիծ» և «պարագիծ»: Պի թվի օրը\piմաթեմատիկական հաստատունին նվիրված տոն, որը նշում են մարտի 14-ին,որը համընկնում է պի թվի առաջին երեք իմաստալից նիշի հետ։ Այն հիմնադրել Լարի Շոուն 1988 թվականին։ Տոնակատարությունները հաճախ ներառում են կարկանդակ ուտելը կամ պի թվի նիշերն անգիր ասելու մրցույթներ անցկացնելը։Պի թիվ  ցույց է տալիս շրջանագծիերկարության հարաբերությունը տրամագծին։ Նշանակվում է հունական այբուբենի (պի) տառով։ Հին անվանումը՝ Լուդոլֆյան թիվ։ Այն օգտագործում են համաշխարհային վիճակագրության, եղանակի կանխագուշակման և այնպիսի տեղեր, որտեղ պահանջվում է մեծ հաշվարկային հզորություն:Այն երբեք չի կրկնվում և երբեք չի վերջանում, եթե այն գրված է տասնորդական տեսքով:Հետաքրքիր է, որ հանրահայտ Քեոփսի բուրգը պի թվի «մարմնացումն է», քանի որ նրա բարձրության հարաբերակցությունը հիմքի պարագծին տալիս է պի թիվը:Պի թվի ստորակետից հետո առաջին 100 թվերը ունեն հետևյալ տեսքը.3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679

Այդ հաստատուն  Պի հունարեն տառն առաջին անգամ օգտագործեց անգլիացի դասախոս Վ. Ջոնսը 1706 թվականին: Պի թիվի հեղինակը հայտնի չէ, սակայն առաջին ուսումնասիրությունը  Պի թիվի վերաբերյալ կատարվել է ՄԹԱ հույն մեծ գիտնական, փիլսոփա Արքիմեդի կողմից, որն առաջինն է տվել  Պի թվի հաշվման մաթեմատիկական եղանակը:
Սկսած 1887 թվականից Պի թիվի ծնունդը նշվում է մարտի 14-ն, ժամը` 1-59, ինչը համապատասխանում է 3. 14 1 59 26 թվերին:
Ուշագրավ է այն փաստը, որ Պի թիվի ծնունդը և հարաբերության տեսության ստեղծող Ա. Էյնշտեյնի ծննդյան օրերը համընկնում են:

Ինչպես է նշվում պի թվի օրը

Պի թվի օրը նշվում է տարբեր կերպ․ այդ օրը ձոն են կարդում {\displaystyle \pi }\pi թվին, պատմում մարդկության կյանքում նրա դերի մասին, նկարագրում, թե կյանքը ինչքան անտանելի կլիներ առանց {\displaystyle \pi }\pi թվի, ինչպես նաև կարկանդակ են ուտում, կարկանդակներ նետում․ դա կապված է անգլերենում «pi» (պի) և «pie» (կարկանդակ) բառերի նմանության և այն հանգամանքի հետ, որ շատ կարկանդակների ունեն կլոր ձև (շրջան)։ Բացի այդ, որոշ դպրոցներում անցկացվում են մրցումներ, թե աշակերտներից ով կարող է հիշել պի թիվը ստորակետից հետո ամենաշատ նիշեր։Հունիսի 28-ը հայտնի է որպես «Two Pi Day», «տաու թվի օր», 2π, հայտնի է հունական տաու (𝜏) տառով, որը մաթեմատիկական բանաձևերում ընդհանուր բազմապատիկ է։ Ոմանք պնդում են, որ τ-ն ավելի հիմնարար հաստատում է, և որ դրա փոխարեն պետք է նշել տաուի օրը։ Այս օրվա տոնակատարությունը առաջարկում է ուտել «երկու անգամ ավելի շատ կարկանդակ»։

\pi թվի արժեքով կարկանդակ

Պի թվի երաժշտության մասին

Երաժիշտ Դեյվիդ ՄակԴոնալդը ձայնագրել է π թվի՝ ստորակետից հետո եկող առաջին 122 նիշերից կազմված դաշնամուրային մեղեդին:Երաժշտության հղումը

February 18

Ֆունկցիա

Առաջադրանք

Կատարել հետազոտություների ֆունկցիաների վերաբերյալ և նյութ տեղադրել բլոգում։

Նյութի հիմնական աղբյուրը ՝ իմ դպրոց կյաքը։

Թվային ֆունկցիա

Սահմանում-Կուսումնասիրենք թվային ֆունկցիաներ, այսինքն՝ այնպիսի ֆունկցիաներ, որոնք որոշված են թվային բազմությունում և ընդունում են թվային արժեքներ: Հիշենք այդ սահմանումը: 

X բազմությունն անվանում են \(y = f(x)\) ֆունկցիայի որոշման տիրույթ:

f-ը բնութագրում է այն կանոնը, որով x փոփոխականի յուրաքանչյուր արժեքին (X\) բազմությունից համապատասխանում է y փոփոխականի համապատասխան արժեքը:

x-ը անվանում են անկախ փոփոխական կամ արգումենտ, իսկ  նրան համապատասխանող y թիվը՝  կախյալ փոփոխական կամ ֆունկցիայի արժեք x կետում:

 f(x) ֆունկցիայի բոլոր արժեքների բազմությունն անվանում են y=f(x) ֆունկցիայի արժեքների բազմություն:

f  ֆունկցիայի որոշման տիրույթն ընդունված է նշանակել D(f)-ով, իսկ արժեքների տիրույթը՝ E(f)-ով:Այս նշանակումներով ընդունված է գրել՝ f:D(f)→E(f)

Թվային ֆունկցիա գրաֆիկները

Գծային ֆունկցիայի գրաֆիկն ուղիղ գիծ է:  Ներքևում ցուցադրված է y=−1,5x−3 ֆունկցիայի գրաֆիկը: 

g2.png

 2. y=x² ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է պարաբոլ: Նրա տեսքը ցուցադրված է ներքևի նկարում: 

g3.png

 3. y=1/x ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է հիպերբոլ: Նրա տեսքը ցուցադրված է ներքևի նկարում: 

g4.png

 4. y=x−−√ ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հետևյալ տեսքը: 

g6.png

 5. Հիշենք նաև y=|x| ֆունկցիայի գրաֆիկը: 

g5.png

Հիշենք, որ ֆունկցիան ցանկացած արգումենտի համար պեքտ է ունենա միայն մեկ արժեք: Գրաֆիկի տերմիններով այս պահանջը նշանակում է, հետևյալը՝Կոորդինատային հարթության վրա գտնվող կորը հանդիսանում է որևէ ֆունկցիայի գրաֆիկ այն և միայն այն դեպքում, եթե օրդինատների առանցքին զուգահեռ ցանկացած ուղիղ կամ կորը չի հատում կամ հատում է միայն մեկ կետում:

Քառակուսային ֆունկցիա

y=ax2+bx+c, որտեղ a-ն, b-ն, c-ն իրական թվեր են և a≠0 կոչվում է քառակուսային ֆունկցիա:

Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլ է: 

Քառակուսային ֆունկցիայի D(f) որոշման տիրույթը բոլոր իրական թվերի բազմությունն է: 
Քառակուսային ֆունկցիայի E(f) արժեքների բազմությունը կախված է պարաբոլի գագաթի y կոորդինատից և պարաբոլի ճյուղերի ուղղվածությունից: 

Եթե a>0, ապա ճյուղերը ուղղված են դեպի վերև: 
Եթե a<0, ապա ճյուղերը ուղղված են դեպի ներքև: 

1. Կառուցենք y=x2−2x−1 ֆունկցիայի գրաֆիկը: 

Կառուցենք y=x2−2x−1 ֆունկցիայի գրաֆիկը:
 
 x0=−b2a=22=1y0=12−2⋅1−1=−2
 
Քանի որ a=1>0, ապա պարաբոլի ճյուղերը ուղղված են դեպի վերև:
 
Պարաբոլը Oy առանցքը հատում է (0;−1) կետում:
 
x
2
3
4
y
−1
2
7
 
Համաչափ կառուցում ենք պարաբոլի ձախ կողմը:
teo2.bmp
2.  Կառուցենք y=−2×2+4x ֆունկցիայի գրաֆիկը:
 
 
Հաշվում ենք քառակուսային հավասարման արմատները՝
 
−2×2+4x=0x(−2x+4)=0x=0,−2x+4=0x=2×1=0x2=2
 
Գտնում ենք գագաթի կոորդինատները՝
 
x0=−42⋅(−2)=1y0=−2⋅12+4⋅1=2
 
Բավական է գտնել ֆունկցիայի արժեքը x=3 կետում՝
 
y=−2⋅(3)2+4⋅3=−18+12=−6
 
Համաչափ գտնում ենք, որ, եթե x=−1, ապա y=−6:
teo.bmp

Հակադարձ ֆունկցիա

 y=f(x), x∈X ֆունկցիան անվանում են հակադարձելի X բազմությունում, եթե այն իր յուրաքանչյուր արժեք ընդունում է X բազմության միայն մեկ կետում (այլ բառերով՝ արգումենտի իրարից տարբեր արժեքներին համապատասխանում են ֆունկցիայի իրարից տարբեր արժեքներ):

Թեորեմ 1
 
Եթե y=f(x), x∈X ֆունկցիան մոնոտոն է, ապա այն հակադարձելի է X բազմությունում:

Թեորեմ 2
 
Եթե y=f(x) ֆունկցիան աճում է (նվազում է) X բազմությունում, և Y-ը նրա արժեքների բազմությունն է, ապա x=f−1(y),y∈Y հակադարձ ֆունկցիան աճում է (նվազում է) Y բազմությում:

Թեորեմ 3
 
y=f(x) ֆունկցիայի և նրա հակադարձ ֆունկցիայի գրաֆիկները համաչափ են y=x առանցքի նկատմամբ:

Հակադարձ ֆունկցիայի բանաձևըy=f(x) ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիայի բանաձևը գտնելու համար պետք է. 
 ա) y=f(x) հավասարումից (x\)-ն արտահայտել y-ով,բ) ստացված x=g(y) 

բանաձևում փոխել x-ի և y-ի տեղերը:

y=f(x) ֆունկցիան անվանում են վերևից սահմանափակ, եթե գոյություն ունի այնպիսի M թիվ, որ ցանկացած x эD(f) համար f (x) փոքր է կամ հավասար M:

y=f(x) ֆունկցիան անվանում են ներքևից սահմանափակ, եթե գոյություն ունի այնպիսի m թիվ, որ ցանկացած xэD(f) համար f(x)>_ m։

y=f(x) ֆունկցիան անվանում են սահմանափակ , եթե այն սահմանափակ է և վերևից, և ներքևից։

Պարբերական ֆունկցիա

Ասում են, որ y=f(x), x∈X ֆունկցիան ունի T պարբերություն, եթե կամայական x∈X արգումենտի համար տեղի ունեն հետևյալ հավասարությունները՝  f(x−T)=f(x)=f(x+T) 
 Զրոյից տարբեր T պարբերություն ունեցող ֆունկցիան կոչվում է պարբերական:Եթե y=f(x), x∈X ֆունկցիան ունի T պարբերություն, ապա T-ին պատիկ ցանկացած թիվ ևս y=f(x) ֆունկցիայի պարբերությունն է:

Եթե պարբերական ֆունկցիան ունի փոքրագույն դրական պարբերություն, ապա այն անվանում են հիմնական պարբերություն:

Պարբերական ֆունկցիայի լավ օրինակներ են y=sinx և y=cosx եռանկյունաչափական ֆունկցիաները: Դրանց պարբերությունը հավասար է 2π y=tgx և y=ctgx ֆունկցիաները ևս պարբերական են՝ π պարբերությամբ: Նույնաբար հաստատուն y=const ֆունկցիան ևս պարբերական է: Նրա համար ցանկացածT≠0 թիվ պարբերություն է:  Պարբերական ֆունկցիայի գրաֆիկը սովորաբար կառուցում են [x0;x0+T) հատվածի վրա, ապա այն կրկնելով շարունակում են ամբողջ որոշման տիրույթի վրա: Հետևյալը y=sin(52cosx) ֆունկցիայի գրաֆիկն է:

period.png

Զույգ և կենտ ֆունկցիաներ

1) y=f(x), x∈X ֆունկցիան անվանում են զույգ, եթե ցանկացած x-ի համար X բազմությունից կատարվում է f(−x)=f(x) հավասարությունը:

2) y=f(x), x∈X ֆունկցիան անվանում են կենտ, եթե ցանկացած x-ի համար X բազմությունից կատարվում է f(−x)=−f(x) հավասարությունը:

Եթե D(f)-ը համաչափ բազմություն չէ, ապա y=f(x) ֆունկցիան չի կարող զույգ կամ կենտ լինել:y=f(x) 

ֆունկցիայի զույգության հետազոտման ալգորիթմը

1. Պարզել, թե արդյո՞ք D(f) որոշման տիրույթը համաչափ է կոորդինատների սկզբնակետի նկատմամբ: Եթե «ոչ», ապա ֆունկցիան ո՛չ զույգ է ո՛չ էլ կենտ: Եթե «այո», ապա անցնել երկրորդ քայլին:    

2. Կազմել f(−x) արտահայտությունը: 

3. Համեմատել f(−x) և f(x) արտահայտությունները: ա) Եթե f(−x)=f(x) ցանկացած x∈D(f) արգումենտի համար, ապա ֆունկցիան զույգ է:բ) Եթե f(−x)=−f(x) ցանկացած x∈D(f), արգումենտի համար, ապա ֆունկցիան կենտ է:գ) Եթե գոնե մեկ x∈D(f) արգումենտի համար տեղի ունի f(−x)≠f(x) կամ f(−x)≠−f(x) հավասարություններից մեկը, ապա y=f(x) ֆունկցիան ո՛չ զույգ է, ո՛չ էլ կենտ:

Եթե y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է օրդինատների առանցքի նկատմամբ, ապա ֆունկցիան զույգ է:

parabola.png

Եթե y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է կոորդինատների սկզբնակետի նկատմամբ, ապա ֆունկցիան կենտ է:

giperbola.png

Իմ կազմած ֆունկցիայի օրինակները`

December 5

Տնային առաջադրանք 126-132

Վարժ. 126

ա) cos(π/4-α)=cosπ/4 cosα + sinπ/4 sinα=√2/2 × cosα + √2/2 sinα=(cosα+sinα)√2/2

բ) cos(π/4+α)=cosπ/4 cosα – sinπ/4 sinα=√2/2 × cosα – √2/2 sinα=(cosα-sinα)√2/2

գ) sin(π/4-α)=sinπ/4 cosα – cosπ/4 sinα=√2/2 × cosα – √2/2 sinα=(cosα-sinα)√2/2

դ) sin(π/4+α)=sinπ/4 cosα + cosπ/4 sinα=√2/2 × cosα + √2/2 sinα=(cosα+sinα)√2/2

ե) tg(π/4+α)=tgπ/4+tgα / 1-tgπ/4tgα=1+tgα/1-tgα

զ) tg(π/4-α)=tgπ/4-tgα / 1+tgπ/4tgα=1-tgα/1+tgα

Վարժ. 129

ա) √2 sin(π/4+α)-sinα=√2(sinπ/4+cosα + cosπ/4 sinα)-sinα=2(cosα+sinα)/2 – sinα=cosα+sinα-sinα=cosα

բ) √2 cos(π/4-α)-cosα=√2(cosπ/4+cosα + sinπ/4 sinα)-cosα=2(cosα+sinα)/2 – cosα=cosα+sinα-cosα=sinα

գ) 2sin(π/6+α)-cosα=2(sinπ/6cosα + cosπ/6 sinα)-cosα=2× cosα+√3sinα/2 -cosα=cosα+√3sinα-cosα=√3sinα

դ) √2 cos-2cos(π/4+α)=√2 cos-2(cosπ/4 cosα-sinπ/4 sinα)=√2cosα-(√2cosα-√2sinα)=√2cosα-√2cosα+√2sinα=√2sinα

Վարժ. 130

ա) √2 cos(3π/4 +α)+cosα / √2 cos(5π/4 -α)+sinα=√2(cos 3π/4 cosα-sin 3π/4 sinα)+cosα / √2(cos 5π/4 cosα+sin 5π/4 sinα)+sinα=-cosα-sinα+cosα/-cosα-sinα+sinα=-sinα/-cosα=tgα

բ) sin(2π/3 +α)+1/2 ×sinα / sin(7π/6 -α)+1/2 ×cosα= sin(2π/3 +α)+sinα/2 / sin(7π/6 -α)+cosα/2=√3 cosα / √3 sinα=cosα/sinα=ctgα

Վարժ. 131

ա) sin27°cos3°+cos27°sin3°=sin30°=1/2=0,5

բ) cos87°cos27°+sin87°sin27°=cos60°=1/2=0,5

Վարժ. 132

ա)(sin π/15 +cos π/10)² + (cos π/15 +sin π/10)²=3

sinπ/15² + 2sinπ/15cos×π/10 + cosπ/10²+cosπ/15²+2cosπ/15×sinπ/10 + sin π/10²=2+( 1/2 -sinπ/30)+( 1/2 +sinπ/30)=2+ 1/2 -sinπ/30+1/2+sinπ/30=3

բ) (cos π/9 -cos 2π/9)² + (sin π/9 +sin 2π/9)²=1

cos π/9² – 2cos π/9×cos 2π/9 + cos 2π/9² + sin π/9 + 2sin π/9×sin 2π/9 + sin 2π/9²=2-(cos π/9 + 1/2)+cos π/9 -1/2=2-cos π/9 – 1/2 + cos π/9 – 1/2=1